Jugend-forscht

Vermessung von Sonnenflecken

Thomas Kaltenbrunner 9.08.2000

I. Vermessung von Sonnenflecken

AAA-Section: 06.19.3 Keyword: sunspots

1. Methoden

a. Grundsätzliches

Um die wahre Größe von Sonnenflecken vermessen zu können muss man die Kugelgestalt der Sonne berücksichtigen, welche Flecken nahe dem Sonnenrand schmaler erscheinen lässt. Man kann also nicht einfach die Winkelgröße eines Sonnenflecks ausmessen und mit Hilfe seiner Entfernung auf den Durchmesser Rückschlüsse ziehen, sondern muss ihn erst "entzerren", wozu man zusätzlich seine Position auf der Sonnenoberfläche kennen muss. Zur Feststellung dieser Position werden mit einem Messokular an einem Reflektor zwei Winkel vom Sonnenmittelpunkt aus gemessen, während die Ermittlung der scheinbaren Breite und Höhe des Flecks nach Okularprojektion auf Millimeterpapier erfolgt.

b. Theorie

Zur Durchführung der Berechnungen wird zunächst ein räumliches rechtwinkelig-kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung im Sonnenmittelpunkt angelegt (Abb. 1.1). Die x-Achse entspricht dabei der Verbindungslinie Sonnenmittelpunkt-Beobachter, also in bester Näherung Sonnenmittelpunkt-Erdmittelpunkt. Die z-Achse steht im Sonnenmittelpunkt auf der x-Achse senkrecht und liegt in der von Erd- und x-Achse aufgespannten Ebene. Würde man sie mit entsprechenden Einheiten versehen, könnte man sie also der Deklination aus dem astronomischen Äquatorialsystem gleichsetzen. Die y-Achse schließlich steht wiederum im Sonnenmittelpunkt senkrecht auf der Ebene, welche x- und z-Achse aufspannen; sie ist mit der Rektaszension vergleichbar.

Misst man nun die Winkelabstände eines beliebigen Punktes P(| ) von der z-Achse weg in y-Richtung ( , Rektaszensionsrichtung) und von der y-Achse aus in z-Richtung (, Deklinationsrichtung), so können wir uns mit Hilfe des Erdabstandes d auf der x-Achse leicht die Koordinaten des Flecks in dem oben angelegten System ausrechnen. Man kann also eine Transformation des Punktes P(|) auf der Sonnenoberfläche in P(x|y|z) vornehmen. Dazu definiert man zuerst eine Gerade vom Erdmittelpunkt durch diesen Punkt:

; (d|0|0) ist der Ort des Erdmittelpunkts im Koordinatensystem;

pro Einheit in x-Richtung auf den Sonnenmittelpunkt zu vermindert sich der x-Wert um 1, was die –1 im Ortsvektor an der x-Position erklärt. Auf der selben Strecke muss die Gerade in y-Richtung eine Steigung von aufweisen und entsprechend in z-Richtung .

Bringt man diese Gerade nun mit der Sonnenkugel zum Schnitt, so ergibt sich:

Damit ist die Position jedes beliebigen Punktes P(| ) im x-y-z-System eindeutig definiert. Misst man nun die Positionen des obersten und untersten Fleckenrandes im --System und transformiert sie ins x-y-z-System, so kann man dort die Fleckenhöhe ausrechnen; entsprechend erhält man aus den Positionen des linken und rechten Randes die Fleckenbreite. Zur Ermittlung dieser Positionen misst man zunächst die Position der Fleckenmitte M( |) im Messokular. Anschließend bestimmt man unter hoher Vergrößerung die Fleckenbreite in Rektaszensionsrichtung und die Höhe in Deklinationsrichtung. Daraus lassen sich wie folgt die Koordinaten der vier Hauptpunkte eines Sonnenflecks bestimmen (Abb. 1.2): Für den Punkt mit größter Deklination, der in diesem Koordinatensystem auch die größte Höhe besitzt, setzt man dann für = ein und für = + /2, er liegt also noch um die halbe Fleckenhöhe über der Fleckenmitte M. Entsprechend gilt für den tiefsten Punkt = und = + /2, für den "linken" Punkt = - und = , sowie für den "rechten" Punkt = + und = . Aus den Positionen dieser vier Punkte kann man sich nun relativ einfach die entzerrten Maße des Flecks herleiten. Zunächst berechnet man sich den Abstand des linken vom rechten Fleckenrand. In guter Näherung kann man davon ausgehen, dass beide Punkte die gleiche z-Koordinate haben; in der Praxis wird man jedoch beide Koordinaten mitteln. Ihre Verbindungslinie liegt also auf einem Kreis in der Sonnenoberfläche, der parallel zur x-y-Ebene mit Radius r durch die bekannte z-Koordinate verläuft (Abb. 1.3).

Aus den Koordinaten der Punkte kann man sich zunächst den Winkel ausrechnen, unter dem ihr Abstand vom Kreismittelpunkt aus erscheint. Anschließend erhält man daraus mit Hilfe des Kreisradius r, der sich aus der gemeinsamen z-Koordinate ableiten lässt, ihren wahren Abstand (vgl. Abb. 1.4):

wenn die Koordinaten des linken, und die Koordinaten des rechten Punktes sind. Daraus folgt für den Sichtwinkel W von der Mitte dieses Kreises:

Somit ergibt sich der Oberflächenabstand des linken vom rechten Sonnenfleckenrand zu b.

Für den oberen und unteren Sonnenfleckenrand ist analog die y-Koordinate identisch. Die Rechnung lautet dann also:

Der vermessene Sonnenfleck hat damit die wahre Breite b und Höhe h. Betrachtet man den Fleck vereinfacht als eine Ellipse mit b/2 und h/2 als großer beziehungsweise kleiner Halbachse, so ergibt sich seine Fläche näherungsweise zu: . In Fachkreisen wird die Fläche meist in Millionstel Hemisphäre (MH) angegeben, also dem millionsten Teil der sichtbaren Sonnenhalbkugel. Die erhaltene Fläche muss dann noch durch dividiert werden, so dass man erhält.

2. praktische Durchführung und Fehlerabschätzung

a) Grundsätzliches

Während praktisch alle Großinstitute die Fleckengrößen heutzutage mittels hochauflösender Kameras und Overlays über die gewonnenen Aufnahmen bestimmen, ist für den "normalen Hobby-Astronomen" die visuelle Methode mit weit geringerem Aufwand verbunden. Deshalb findet wieder der russische Siberia 150 Reflektor mit 1200mm Brennweite und 150mm freier Öffnung Verwendung. Das Teleskop befindet sich auf einer schweren Deutschen Säulenmontierung, welche nach Scheiner justiert wurde und somit die hohe Nachführgenauigkeit während der Beobachtung gewährleistet. Die nötige Abdunklung des Sonnenbildes erfolgt mit AstroSolar™-Sonnenfilterfolie ND5 von Baader Planetarium, einem hochreinen Kunststofffilm aus der Kernforschung, der beidseitig mit einer Spezialschicht bedampft ist [1]. Die Positionsmessung der Fleckenmitte erfolgt mit Hilfe des Micro-Guide Mess- und Nachführokulars, welches ebenfalls von der Firma Baader Planetarium in Mammendorf hergestellt und vertrieben wird. Zur Ermittlung der Fleckenbreite und Höhe findet – wie bereits erwähnt - ein 15mm Okular in Verbindung mit dem Siberia 150 Verwendung, welches das Sonnenbild auf Millimeterpapier projiziert.

b) praktische Bestimmung der Winkel

Wie man in 1b) gesehen hat, müssen zunächst die Winkel und bestimmt werden. kann auf Grund des gewählten Koordinatensystems anstatt von der y-Achse ja auch von einem Deklinationsgroßkreis durch den Sonnenmittelpunkt aus in Rektaszensionsrichtung gemessen werden. Weil der Sonnenmittelpunkt aber nicht so leicht ausfindig zu machen ist, muss man sich eine andere Methode zurechtlegen: man stellt sich die Sonnenscheibe einem Quadrat einbeschrieben vor, dessen Seiten in Rektaszensions- und Deklinationsrichtung ausgerichtet sind (Abb. 2.1). Nun misst man den Winkel g zwischen den Quadratseiten und Fleck. Ihn zieht man vom Winkelradius r der Sonne ab und erhält so beziehungsweise . Da r jahreszeitlich variiert, muss man aus dem bekannten Sonnenradius und nach den aktuellen Angaben eines astronomischen Jahrbuchs zum aktuellen Sonnenabstand [z.B. 2] berechnen: r = arctan R_ª/d.

Zur praktischen Durchführung der Messungen justiert man die lineare Skala eines Messokulars in Rektaszensionsrichtung. Dann stellt man einen Skalenrand auf die Fleckenmitte und bewegt das Teleskop mittels der Deklinations-Feineinstellung langsam in Richtung scheinbaren Sonnenäquator und über diesen hinaus, wobei die Rektaszension unverändert bleibt. Hier merkt man sich den maximalen Skalenwert, bis zu dem die Sonnenscheibe am "freien" Skalenende vordringt. Multipliziert man ihn mit dem bekannten Strichabstand der Skala in Bogensekunden, so erhält man den zugehörigen Winkel g _RA.

Das freie Skalenende ist also die imaginäre Quadratseite in Deklinationsrichtung abgefahren und hat gemeinsam mit der Nullmarke den Abstand g _RA zum Sonnenfleck gemessen. Um den gesuchten Winkel zu erhalten, wird g _RA letztlich vom Winkelradius r der Sonne abgezogen. Für die Ermittlung von verfährt man analog. Um zunächst die Skala in Deklinationsrichtung auszurichten stellt man im Falle des Baader Micro-Guide einen kleinen Sonnenfleck auf die 0°-Marke der großen Winkelskala und dreht nun das Okular bis er auf 90° steht. Jetzt wird das eine Skalenende wieder auf den Fleck eingestellt und man verstellt das Teleskop diesmal mittels der Rektaszensions-Feineinstellung, wobei man wieder den maximalen Winkelabstand g _Dec zum Sonnenrand ermittelt. Abschließend wird dieser Wert wieder von den rund 16‘ Sonnenradius abgezogen und man erhält den Winkel .

Die kleinen Winkel und werden durch Okularprojektion auf Millimeterpapier vermessen. Dabei wird das Licht durch eine 4fach Barlowlinse und ein 15mm Okular auf einen Metallschirm projiziert, auf welchem mittels vier kleiner Magneten das Millimeterpapier befestigt ist. Zunächst muss man die Kästchenreihen des Papiers aber in Rektaszensions- und Deklinationsrichtung ausrichten: dazu entfernt man einfach den Objektivfilter vom Teleskop, dessen lineare Okularskala zur Messung des Winkels noch in Dec-Richtung weist. Um das Papier zu justieren richtet man seine Kästchenreihen einfach nach dieser Skala aus.

Anschließend kann man den zu vermessenden Fleck mittig auf dem Millimeterpapier einstellen und einfach seine scheinbare Breite B (RA-Richtung, also senkrecht zur ursprünglichen Skalenrichtung) und Höhe H (Dec-Richtung, in ursprünglicher Skalenrichtung) in Millimetern ablesen. Wichtig ist dabei eine äußerst wirkungsvolle Abdunklung des Projektionsbildes mit schwarzer Wellpappe und Krepppapier, um ein möglichst kontrastreiches Bild zu erreichen. Nimmt man folgende Formel [3] zur Hilfe, so lassen sich daraus die gesuchten Winkel und ermitteln:

Wichtig ist hierbei jedoch, dass man für f_Ob die exakte resultierende Teleskopbrennweite einsetzt. Sie kann man ebenfalls über die Sternlaufzeit mit der linearen Winkelskala ermitteln [z.B. 4].

Damit hat man alle benötigten Winkel ermittelt. Aus ihnen kann man sich dann wahre Höhe h und Breite b des Flecks und letztlich auch die Fläche A nach den zuvor hergeleiteten Formeln berechnen, was im konkreten Fall ein in der Programmiersprache C++ erstelltes Computerprogramm übernimmt.

d) Fehlererwartung

Für die zu erwartenden Fehler ergeben sich drei grundlegende Quellen. Die erste Ungenauigkeit akzeptiert man, sobald man aus der Höhe und Breite des Flecks per Ellipsen-Näherung die Fläche berechnet, denn kaum ein Sonnenfleck ist so regelmäßig geformt. Bei Verwendung der äußeren Fleckenränder dürfte man in der Regel folglich um fünf bis zehn Prozent zu große Flächenwerte erhalten. Dies ist der einzige nennenswerte Fehler, der auf mathematische Näherungen zurückzuführen ist. Sein Effekt wird zudem noch durch eine geringe Bildunschärfe verstärkt, die am äußeren Rand des Sonnenflecks zu einem "Auslaufen" der scharfen Grenzen und deshalb zu einer scheinbaren Vergrößerung des Flecks führt.

Als weitere Fehlerquelle ist schließlich die Luftunruhe zu nennen, die erfahrungsgemäß selbst in ruhigsten Momenten Positionsmessungen von und mit höherer Genauigkeit als ±¼ST und eine Größenmessung von H und B genauer als ±0,5mm verhindern wird. Diese Fehlergrenzen können sich im Einzelfall addieren, so dass sie wie folgt extra berücksichtigt werden müssen und eine theoretische Ober- und Untergrenze für die Fläche liefern:

1. Der Fleck wurde zu klein gemessen: Im extremen Fall wäre dann die Position sowohl bei als auch beium je ¼ST=4,31" zu nahe am Sonnenmittelpunkt gemessen worden, der Fleck wurde also unzureichend entzerrt. Hinzu kommen kann, dass für die Größe sowohl H, als auch B um je 0,5mm zu klein gemessen wurden. Der daraus resultierende Winkelfehler für und fällt in jedem Fall kleiner oder gleich arctan (0,5mm/172171mm) = 0,6" und muss somit für die Ungenauigkeit eingesetzt werden: _max=+¼ST=+4,3", max=+0,6" und _max=+¼ST= +4,3" , sowie _max=+0,6". Nun setzt man _max statt , _max statt usw., und erhält dann gemäß Abb. 1.2 die Winkelkoordinaten der vier Hauptpunkte. Über die kartesischen Koordinaten dieser Punkte lassen sich dann wieder die maximale Fleckenbreite und -höhe, und somit die maximal zulässige Fleckenfläche ermitteln.
2. Der Fleck wurde zu groß gemessen: Entsprechend wurden also die Positionswinkel von M(|) um je bis zu ¼ST=4,3" zu weit außen angesetzt, der Fleck wurde als zu stark verzerrt betrachtet und somit zu groß berechnet. Außerdem können die Größenmessungen um bis zu 0,6" zu groß ausgefallen sein. Die daraus folgenden Winkel errechnen sich zu: _min=-4,3", _min= -0,6" = und _min=-4,3", sowie _min=-0,6". Hieraus wird dann analog zur maximalen Fläche die minimale Fläche errechnet.

Insgesamt fallen die so ermittelten Flächengrenzen also eher zu groß aus, so dass man in der Realität häufig mit etwas kleineren Flächen rechnen muss.

3. Ergebnisse

Exemplarisch seien hier zwei Fleckenvermessungen angeführt. Sicherlich wird in der Praxis bei weitem nicht jede Messung so brillant ausfallen, doch wird hier einerseits die Notwendigkeit eines äußerst präzisen Vermessens des der Fleckenposition im Okular und seiner Höhe und Breite auf dem Millimeterpapier deutlich (man beachte die rechnerischen Fehlergrenzen!), während andererseits die hohe Leistungsfähigkeit des Entzerrungs-Algorithmus unterstrichen wird. Denn vermessen wurde ein Einzelfleck am äußer(st)en Sonnenrand, der vom Space Environment Center die Gruppennummer 9056 erhielt. Nur deshalb waren im Internet Vergleichswerte für die Flächenabschätzung zugänglich, denn in [5] finden sich nur Messungen von ganzen Fleckengruppen.

02.07.2000	d=1,017 AE	I=505mm	Position RA	Position Dec
			=10,0 ST=173"	=39,5 ST=683,35"
			= 787"	=277"

Umbra		Penumbra
Breite	Höhe	Breite	Höhe
B=7,5mm	H=12,0mm	B=17,5mm	H=33,5mm
= 9,0"	=14,4"	=21,0"	=40,1"
b=11.380km ±2.200km	h=10.950km ±1.200km	b=26.560km ±2.400km	h=30.570km ±1.300km
A=32MH ±10MH		A=209MH ±40MH
		Vergleichswert SEC: 200MH

02.07.2000	d=1,016AE	I=503,5 mm	Position RA	Position Dec
			=5,0 ST=86,5"	=41,1 ST=711,0"
			=873,5"	=249"

Umbra		Penumbra
Breite	Höhe	Breite	Höhe
B=4,7mm	H=7,5mm	B=11,0mm	H=32,0mm
=5,6"	=9,0"	=13,2"	=38,5"
b=9.870km ±3.100km	h=6.800km ±1.200km	b=23.100km ±3.500km	h=29.030km ±1.200km
A=17MH ±10MH		A=173MH ±35MH
		Vergleichswert SEC: 170MH

Abb. 1.1: Position des Punktes P

Ein entsprechendes Computerprogramm zur Berechnung der Fleckengrößen und zur Abschätzung des Fleckenmagnetfelds kann beim Autor gegen Einsendung eines frankierten Rückumschlags samt Diskette erworben werden.

Mein besonderer Dank für die Hilfe bei der Suche nach Vergleichsflächen gilt Herrn Dr. Reinsch (Göttingen), J. Quiver (Stanford), sowie dem Astrophysikalischen Institut Potsdam und dem BigBear-Observatory. Für weitere Auskünfte zur professionellen Flächenmessung danke ich des Weiteren dem Space Environment Center der NOAA.

Abb. 1.2: Positionen der vier zur Berechnung benötigten Punkte eines Sonnenflecks

Abb. 1.3: Berechnung des Kreisradius r

Abb. 1.4: Berechnung der Fleckenbreite b

Abb. 2.1: schematische Messung von

Abb.2.1: praktische Messung von

Literaturverzeichnis

[1] aus: Informationsblatt zu "Baader AstroSolar™ Sonnenfilter-Folie", Mammendorf, Baader Planetarium GmbH, 1999

[2] Keller, Prof. H.-U., "Kosmos Himmelsjahr 2000", Stuttgart, Franckh-Kosmos-Verlag GmbH & Co., 1999, S.216

[3] Schwinge, W., Das Kosmos Handbuch Astrofotografie: Ausrüstung, Technik, Fotopraxis; Stuttgart, Franckh-Kosmos Verlag, 1993, S.82

[4] Stättmayer, P., Bedienungsanleitung zum Micro-Guide, Mammendorf, Baader Planetarium GmbH, 1990, S.3

[5] www.sec.noaa.gov/getftp.cgi?get=/forecast/SRS

Thomas Kaltenbrunner, Gamskogelstraße 1, D-83334 Inzell, e-mail: TKAstro@t-online.de